微积分学示例

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 3 x$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $- 3$ 移到 $x^{2} + 7$ 的左侧。

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

化简表达式。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

将 $- 3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $- 3 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.1.2

把 $- 2$ 重写为 $7$ 加 $- 9$

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 7$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

微积分学 示例

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