微积分学示例

$y = {(x + 1)}^{x + 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{x + 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.1.1

将 ${(x + 1)}^{x + 1}$ 重写为 $e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}]$

解题步骤 3.1.2

通过将 $x + 1$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 1)}^{x + 1})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{(x + 1) \ln (x + 1)}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $(x + 1) \ln (x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $(x + 1) \ln (x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = \ln (x + 1)$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 1$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.4.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.5.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + 0))$

解题步骤 3.5.8

化简表达式。

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解题步骤 3.5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 3.5.8.2

将 $\ln (x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1))$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

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