微积分学示例

$y = \log (\ln (x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log (\ln (x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\log (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10)} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{\ln (x) \ln (10)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{\ln (x) \ln (10) x}$

解题步骤 3.3.2

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \ln (10) \ln (x)}$

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