微积分学示例

$8 \sqrt{y} = x - 5 y$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 5 y$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 5 y)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.13

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

解题步骤 3.14

组合 $\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x - 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$1 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - 5 y'$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 5 y'$

解题步骤 6

求解 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

重写表达式。

$4 y' = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $(1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用分配律。

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $- 5 y' y^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$4 y' = - 5 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

在等式两边都加上 $5 y' y^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 y' + 5 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' u - (u) = 0$

解题步骤 6.3.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.4.1.1

将 ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

解题步骤 6.3.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

解题步骤 6.3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$4 {y'}^{1} + 5 y' u - u = 0$

解题步骤 6.3.4.1.2

化简。

$4 y' + 5 y' u - u = 0$

解题步骤 6.3.4.2

从等式两边同时减去 $4 y'$ 。

$5 y' u - u = - 4 y'$

解题步骤 6.3.4.3

从 $5 y' u - u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 6.3.4.3.1

从 $5 y' u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (5 y') - u = - 4 y'$

解题步骤 6.3.4.3.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (5 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

解题步骤 6.3.4.3.3

从 $u (5 y') + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (5 y' - 1) = - 4 y'$

解题步骤 6.3.4.4

将 $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ 中的每一项除以 $5 y' - 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.4.1

将 $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ 中的每一项都除以 $5 y' - 1$ 。

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

解题步骤 6.3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.4.2.1

约去 $5 y' - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

解题步骤 6.3.4.4.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

解题步骤 6.3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

解题步骤 6.3.5

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

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