微积分学示例

$\arctan (x^{2} y) = x y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} y$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2} y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

对 $x^{2} y$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

解题步骤 2.6.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

解题步骤 2.6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

解题步骤 2.6.3

重新排序 $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ 的因式。

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 2.6.4

将 $x^{2} y' + 2 y x$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 2.6.5

从 $x^{2} y' + 2 y x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.6.5.1

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 2.6.5.2

从 $2 y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 2.6.5.3

从 $x (x y') + x (2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x y y' + y^{2}$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$y^{2} + 2 x y y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $1 + x^{4} y^{2}$ 。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去 $1 + x^{4} y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

重写表达式。

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.3.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.1.1.5

将 $x^{2}$ 和 $y'$ 重新排序。

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} (1 + x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

运用分配律。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.1

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.4.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.4.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.1

移动 $y^{2}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1.2.2.1

将 $y^{4}$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.2

移动 $y$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.3

移动 $x$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y'$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.4

移动 $y^{3}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.5

移动 $x^{5}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.6

移动 $y^{2}$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.7

移动 $2 y' x y$ 。

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2.8

将 $x^{4} y^{4}$ 和 $2 y' x^{5} y^{3}$ 重新排序。

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2}$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} = y' x^{2} + 2 x y$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $y' x^{2}$ 。

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y$

解题步骤 5.3.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.3.1

从等式两边同时减去 $x^{4} y^{4}$ 。

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

解题步骤 5.3.3.2

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.4

从 $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $2 y' x^{5} y^{3}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $2 y' x y$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.4.3

从 $- y' x^{2}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.4.4

从 $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.4.5

从 $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

解题步骤 5.3.6

将 $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ 中的每一项除以 $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ 中的每一项都除以 $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ 。

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.2.2

约去 $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.6.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.6.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.2

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.3.1.2.1

从 $- x^{4} y^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.2.2

从 $2 y - x^{3} y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.6.3.2.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.2.2.2

从 $- x^{3} y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.2.2.3

从 $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.3

要将 $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ 的形式。

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解题步骤 5.3.6.3.4.1

将 $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.4.2

重新排序 $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ 的因式。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.3.6.1

从 $y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.6.3.6.1.1

从 $y (2 - x^{3} y^{3}) x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.1.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.1.3

从 $y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.2

运用分配律。

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.6.3.6.3.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.6.3.6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 5.3.6.3.6.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

微积分学 示例

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