微积分学示例

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 。

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x y$ 。

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.4.5

在公分母上合并分子。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.4.7

将负号移到分数的前面。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.9

组合 $- 5$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4.11

将负号移到分数的前面。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

将 $6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $y \cos (x y)$ 。

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

解题步骤 6.2.2

在等式两边都加上 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

从 $6 y y' - x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $6 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.2

从 $- x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3

从 $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.4

将 $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项除以 $6 y - x \cos (x y)$ 并化简。

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解题步骤 6.4.1

将 $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项都除以 $6 y - x \cos (x y)$ 。

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $6 y - x \cos (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

解题步骤 6.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

解题步骤 6.4.3.1.2

将 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.2

要将 $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 6.4.3.3.1

将 $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ 乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.3.2

重新排序 $(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ 的因式。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 6.4.3.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 6.4.3.5.2

将 $\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

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