微积分学示例

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 5 x + 2$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 3.1.3

使用 $3 x^{2} - 5 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.7

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

解题步骤 3.2.9

将 $6 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

重新排序 $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ 的因式。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

解题步骤 3.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

把 $- 5$ 重写为 $- 2$ 加 $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

运用分配律。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

解题步骤 3.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 2$ 来因式分解多项式。

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 3.3.3

将 $6 x - 5$ 乘以 $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ 。

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

微积分学 示例

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