微积分学示例

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

解题步骤 2

因为 $a$ 对于 $z$ 是常数，所以 $a$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

解题步骤 3.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{0.3}}$ 。

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

解题步骤 3.2.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.2.1

组合 $y^{0.6}$ 和 $\frac{5}{x^{0.3}}$ 。

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $5$ 移到 $y^{0.6}$ 的左侧。

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

解题步骤 3.2.2.3

组合 $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ 和 $z$ 。

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

解题步骤 3.2.3

因为 $\frac{5}{x^{0.3}}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = y^{0.6}$ 且 $g (z) = z$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

解题步骤 3.4.2

将 $y^{0.6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = z^{0.6}$ 且 $g (z) = y$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.6$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

解题步骤 3.5.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

解题步骤 3.6

将 $0.6$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

解题步骤 3.7

将 $\frac{d}{d z} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

解题步骤 3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

运用分配律。

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9.2

合并项。

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解题步骤 3.9.2.1

组合 $\frac{5}{x^{0.3}}$ 和 $y^{0.6}$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9.2.2

组合 $0.6$ 和 $\frac{1}{y^{0.4}}$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9.2.3

组合 $z$ 和 $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9.2.4

将 $0.6$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

解题步骤 3.9.2.5

组合 $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

解题步骤 3.9.2.6

将 $\frac{5}{x^{0.3}}$ 乘以 $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

解题步骤 3.9.2.7

将 $0.6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

解题步骤 3.9.3

重新排序项。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ 。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ 。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

解题步骤 5.3

两边同时乘以 $x^{0.3} y^{0.4}$ 。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.1.1

约去 $x^{0.3} y^{0.4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

解题步骤 5.4.1.1.2

重写表达式。

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简 $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去 $x^{0.3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

将 $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ 中前置负号移到分子中。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

从 $x^{0.3} y^{0.4}$ 中分解出因数 $x^{0.3}$ 。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

约去公因数。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

解题步骤 5.4.2.1.1.4

重写表达式。

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

通过指数相加将 $y^{0.6}$ 乘以 $y^{0.4}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

移动 $y^{0.4}$ 。

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

解题步骤 5.4.2.1.2.3

将 $0.4$ 和 $0.6$ 相加。

$3 z y' = - 5 y^{1}$

解题步骤 5.4.2.1.3

化简 $- 5 y^{1}$ 。

$3 z y' = - 5 y$

解题步骤 5.5

将 $3 z y' = - 5 y$ 中的每一项除以 $3 z$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 z y' = - 5 y$ 中的每一项都除以 $3 z$ 。

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $z$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

约去 $- 5$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1

从 $- 5 y$ 中分解出因数 $1$ 。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

解题步骤 5.5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

从 $3 z$ 中分解出因数 $1$ 。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

解题步骤 5.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d z}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$

微积分学 示例

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