微积分学示例

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

解题步骤 2

$x$ 对 $t$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 1$ 且 $g (t) = t$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.3.4

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

解题步骤 3.9

合并分数。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

解题步骤 3.9.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ 。

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

解题步骤 3.10.2

化简分子。

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解题步骤 3.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

解题步骤 3.10.2.2

从 $2 t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

解题步骤 3.10.3

化简分子。

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解题步骤 3.10.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

解题步骤 3.10.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

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