微积分学示例

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

解题步骤 2

$w$ 对 $x$ 的导数为 $w'$ 。

$w'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4.2

将 ${(2 x - 7)}^{- 1}$ 乘以 $1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 2 x - 7$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 7$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 3.4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

解题步骤 3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

重新排序项。

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.4

运用分配律。

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.6

乘以 $- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.5.2.6.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.6.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.6.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.7

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.7.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

解题步骤 3.5.2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

解题步骤 3.5.3

要将 $\frac{1}{2 x - 7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ 。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(2 x - 7)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{1}{2 x - 7}$ 乘以 $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ 。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $2 x - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

对 $2 x - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.6

合并 $\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.6.2

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.8

从 $- 7$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d w}{d x}$ 替换 $w'$ 。

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

微积分学 示例

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