微积分学示例

$V = (15 - x) (8 - x) x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} ((15 - x) (8 - x) x)$

解题步骤 2

$V$ 对 $x$ 的导数为 $V'$ 。

$V'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (15 - x) (8 - x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$(15 - x) (8 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(15 - x) (8 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

解题步骤 3.2.2

将 $15 - x$ 乘以 $1$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 15 - x$ 且 $g (x) = 8 - x$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $8 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 1$ 移到 $15 - x$ 的左侧。

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 1 (15 - x)$ 重写为 $- (15 - x)$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.7

根据加法法则， $15 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.4.8

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.4.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.4.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.4.12

化简表达式。

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解题步骤 3.4.12.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \cdot - 1)$

解题步骤 3.4.12.2

将 $- 1$ 移到 $8 - x$ 的左侧。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - 1 \cdot (8 - x))$

解题步骤 3.4.12.3

将 $- 1 (8 - x)$ 重写为 $- (8 - x)$ 。

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - (8 - x))$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - (8 - x))$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - 1 \cdot 8 - - x)$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$(15 - x) \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.5

运用分配律。

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.6

运用分配律。

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7

合并项。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $15$ 乘以 $8$ 。

$120 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$120 - 8 x + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.3

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$120 - 8 x - 15 x - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$120 - 8 x - 15 x + 1 x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$120 - 8 x - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 - 8 x - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$120 - 8 x - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.10

从 $- 8 x$ 中减去 $15 x$ 。

$120 - 23 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.11

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$120 - 23 x + x^{2} + x \cdot - 15 + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.12

将 $- 15$ 移到 $x$ 的左侧。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 \cdot x + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x (1 x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.14

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.19

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x \cdot - 8 + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.20

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 \cdot x + x (- - x)$

解题步骤 3.5.7.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x (1 x)$

解题步骤 3.5.7.22

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x \cdot x$

解题步骤 3.5.7.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x$

解题步骤 3.5.7.24

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x^{1}$

解题步骤 3.5.7.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1 + 1}$

解题步骤 3.5.7.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{2}$

解题步骤 3.5.7.27

从 $- 15 x$ 中减去 $8 x$ 。

$120 - 23 x + x^{2} + x^{2} - 23 x + x^{2}$

解题步骤 3.5.7.28

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$120 - 23 x + x^{2} + 2 x^{2} - 23 x$

解题步骤 3.5.7.29

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$120 - 23 x + 3 x^{2} - 23 x$

解题步骤 3.5.7.30

从 $- 23 x$ 中减去 $23 x$ 。

$120 + 3 x^{2} - 46 x$

解题步骤 3.5.8

重新排序项。

$3 x^{2} - 46 x + 120$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$V' = 3 x^{2} - 46 x + 120$

解题步骤 5

使用 $\frac{d V}{d x}$ 替换 $V'$ 。

$\frac{d V}{d x} = 3 x^{2} - 46 x + 120$

微积分学 示例

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