微积分学示例

$e^{x^{2}} y - 3 \sqrt{y^{2} + 2} = x^{2} + 1$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{2} + 2}$ 重写成 ${(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y - 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} = x^{2} + 1$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2}} y - 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $e^{x^{2}} y - 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x^{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x^{2}} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x^{2}} y' + y (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y^{2} + 2$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y^{2} + 2$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{2} + 2])$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{2} + 2])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $y^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{2} + 2])$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $y^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $y$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.3.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y y' + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.9

在公分母上合并分子。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.10

化简分子。

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解题步骤 3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.11

将负号移到分数的前面。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 y y' + 0))$

解题步骤 3.3.12

将 $2 y y'$ 和 $0$ 相加。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{1}{2} {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 y y'))$

解题步骤 3.3.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{{(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y y'))$

解题步骤 3.3.14

组合 $2$ 和 $\frac{{(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{2 {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y y'))$

解题步骤 3.3.15

组合 $y$ 和 $\frac{2 {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 (\frac{y (2 {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y')$

解题步骤 3.3.16

组合 $\frac{y (2 {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ 和 $y'$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{y (2 {(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2}$

解题步骤 3.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(y^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{y \cdot 2 y'}{2 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.18

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{2 \cdot y y'}{2 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.19

约去公因数。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{2 y y'}{2 {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.20

重写表达式。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - 3 \frac{y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.21

组合 $- 3$ 和 $\frac{y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) + \frac{- 3 (y y')}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.22

将负号移到分数的前面。

$e^{x^{2}} y' + y e^{x^{2}} (2 x) - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$e^{x^{2}} y' + 2 e^{x^{2}} x y - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{x^{2}} y' + 2 e^{x^{2}} x y - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{2}} y' + 2 x y e^{x^{2}} - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$e^{x^{2}} y' + 2 x y e^{x^{2}} - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 1, {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 6.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

将 $e^{x^{2}} y' + 2 x y e^{x^{2}} - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x$ 中的每一项乘以 ${(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.2.1

将 $e^{x^{2}} y' + 2 x y e^{x^{2}} - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x$ 中的每一项乘以 ${(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y' {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 ${(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $- \frac{3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{x^{2}} y' {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去公因数。

$e^{x^{2}} y' {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 y y'}{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.3

重写表达式。

$e^{x^{2}} y' {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y y' = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $e^{x^{2}} y' {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y y'$ 中的因式重新排序。

$y' e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y y' = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y y' = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

从 $y' e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $y' e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 y y' = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

从 $- 3 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 3 y) = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.3

从 $y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 3 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y) = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3

将 $y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y) = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y) = 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y$ 。

$\frac{y' (e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y)}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y} = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y} + \frac{- 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.3.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y} + \frac{- 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 6.3.3.3.2.1

从 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.3.3.2.1.1

从 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1) - 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.3.2.1.2

从 $- 2 x y e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 1 y e^{x^{2}})}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.3.2.1.3

从 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 1 y e^{x^{2}})$ 中分解出因数 $2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 - 1 y e^{x^{2}})}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 6.3.3.3.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$y' = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 - y e^{x^{2}})}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 - y e^{x^{2}})}{e^{x^{2}} {(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 3 y}$

微积分学 示例

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