微积分学示例

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

解题步骤 2

$v'$ 对 $t$ 的导数为 $v''$ 。

$v''$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 1 - t$ 且 $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 。

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 1 + t^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + t^{2}$ 。

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.2.3

使用 $1 + t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $1 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 相加。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $1 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.3.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.11.2

将 $- 1$ 移到 ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ 的左侧。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

解题步骤 3.3.11.3

将 $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 重写为 $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3

合并项。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ 。

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

组合 $t$ 和 $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ 。

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.5

要将 $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ 。

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6

组合 $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ 和 $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ 。

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5

化简分子。

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解题步骤 3.4.5.1

从 $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.4.5.1.1.1

将 $1$ 和 $t^{2}$ 重新排序。

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.1.1.2

将 $1$ 和 $- t$ 重新排序。

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.1.1.3

将 $1$ 和 $t^{2}$ 重新排序。

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.1.2

从 $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.1.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.1.4

从 $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.2

约去 $t^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.2.1

从 ${(t^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $t^{2} + 1$ 。

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.2.2

约去公因数。

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.3

将 $- t + 1$ 乘以 $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ 。

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.4

将 $2$ 移到 $- t + 1$ 的左侧。

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.7

重新排序项。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8

以因式分解的形式重写 $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 3.4.5.8.1

运用分配律。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.8.4.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.5.8.4.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.4.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.5.8.5

从 $t^{2}$ 中减去 $2 t^{2}$ 。

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

解题步骤 3.4.7

乘以 $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\frac{1}{t^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ 。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

解题步骤 3.4.7.2

对 $t^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

解题步骤 3.4.7.3

对 $t^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 3.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

从 $2 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10

从 $- (t^{2}) - (- 2 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12

从 $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.13

将 $- (t^{2} - 2 t - 1)$ 重写为 $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ 。

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.14

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.16

将 $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d v}{d t}$ 替换 $v'$ 。

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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