微积分学示例

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

解题步骤 2

$R$ 对 $x$ 的导数为 $R'$ 。

$R'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $900 + 32 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

因为 $900$ 对于 $x$ 是常数，所以 $900$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [32 x]$ 相加。

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 3.3.11

将 $900 + 32 x - x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3

合并项。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $32$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.2

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.8

将 $2$ 乘以 $900$ 。

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.9

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.10

将 $64 x$ 和 $64 x$ 相加。

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

解题步骤 3.4.3.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.12

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

解题步骤 5

使用 $\frac{d R}{d x}$ 替换 $R'$ 。

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

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