微积分学示例

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $t^{3}$ 。

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

解题步骤 3

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.2.5.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d t} [49 t]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $49$ 对于 $t$ 是常数，所以 $49 t$ 对 $t$ 的导数是 $49 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.4.3

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

解题步骤 4.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.5.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

解题步骤 4.5.2

将 $t^{2} - 14 t + 49$ 和 $0$ 相加。

$t^{2} - 14 t + 49$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

解题步骤 6

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$

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