微积分学示例

$s = \frac{a + b t + c t^{2}}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = \frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d a} (s) = \frac{d}{d a} (\frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$s$ 对 $a$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $\frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [a + b t + c t^{2}]$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [a + b t + c t^{2}]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $a + b t + c t^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}]$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

解题步骤 4.4

因为 $b t$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b t$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + 0 + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

解题步骤 4.6

因为 $c t^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $c t^{2}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 4.7.2

将 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d s}{d a}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d a} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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