微积分学示例

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{3}}$ 。

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

解题步骤 3

$q$ 对 $r$ 的导数为 $q'$ 。

$q'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ 。

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $6$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{6}{r}$ 对 $r$ 的导数是 $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ 。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{r}$ 重写为 $r^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

解题步骤 4.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

解题步骤 4.4.3

合并项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{r^{2}}$ 。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

解题步骤 4.4.4

重新排序项。

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d q}{d r}$ 替换 $q'$ 。

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

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