微积分学示例

$x = \frac{3 r + 2}{2 r + 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (x) = \frac{d}{d r} (\frac{3 r + 2}{2 r + 3})$

解题步骤 2

$x$ 对 $r$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 等于 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ，其中 $f (r) = 3 r + 2$ 且 $g (r) = 2 r + 3$ 。

$\frac{(2 r + 3) \frac{d}{d r} [3 r + 2] - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $3 r + 2$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]$ 。

$\frac{(2 r + 3) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3 r$ 对 $r$ 的导数是 $3 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$\frac{(2 r + 3) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 r + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 r + 3) (3 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $2$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 r + 3) (3 + 0) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 r + 3) \cdot 3 - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $3$ 移到 $2 r + 3$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (2 r + 3) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $2 r + 3$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3]$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $2$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2 r$ 对 $r$ 的导数是 $2 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + 0)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (2 r + 3) - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

合并 $3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

按照 $3 (2 r)$ 和 $- 2 (3 r)$ 重新排列因数。

$\frac{2 \cdot 3 r + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 r - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

从 $2 \cdot 3 r$ 中减去 $2 \cdot 3 r$ 。

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $3 \cdot 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 - 4}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d r}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d r} = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

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