微积分学示例

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

去掉圆括号。

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2

将 ${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 3

$r$ 对 $x$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = \tan (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (2 x - 1)$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.2.3

使用 $\tan (2 x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.10

从 $6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.11

约去公因数。

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解题步骤 4.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.11.3

重写表达式。

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.11.4

用 $3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

解题步骤 4.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 4.12.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x - 1$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 4.12.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 4.12.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

解题步骤 4.13

求微分。

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解题步骤 4.13.1

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.13.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.13.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.13.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.13.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

解题步骤 4.13.6

化简表达式。

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解题步骤 4.13.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

解题步骤 4.13.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d r}{d x}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

微积分学 示例

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