微积分学示例

$r = \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\cos (x) \cot (x))$

解题步骤 2

$r$ 对 $x$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2.4

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.4.2.5.1

添加圆括号。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

解题步骤 3.4.2.5.2

将 $- \cot (x) \sin (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

解题步骤 3.4.2.5.3

约去公因数。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.4.3

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

解题步骤 3.4.3.2

分离分数。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

解题步骤 3.4.3.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

解题步骤 3.4.3.4

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d x}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d x} = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

微积分学 示例

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