微积分学示例

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

解题步骤 2

$r$ 对 $M$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ 等于 $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ ，其中 $f (M) = M^{2}$ 且 $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ 。

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ 对 $M$ 的导数是 $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ 。

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{c}{2}$ 对于 $M$ 是常数，所以 $\frac{c}{2}$ 对 $M$ 的导数为 $0$ 。

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ 相加。

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.4

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $M$ 是常数，所以 $- \frac{M}{3}$ 对 $M$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ 。

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.5

组合 $M^{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ 等于 $n M^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ 等于 $n M^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

解题步骤 3.2.9

将 $2$ 移到 $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ 的左侧。

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

解题步骤 3.3

用公分母合并 $- \frac{M^{2}}{3}$ 和 $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{M^{2}}{3}$ 和 $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ 重新排序。

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

解题步骤 3.3.2

要将 $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

解题步骤 3.3.3

组合 $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

解题步骤 3.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

将 $- \frac{M}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

从 $6 M$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.1.4

重写表达式。

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.3

对 $M$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.4

对 $M$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.7.1

从 $6 M$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7.2

约去公因数。

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7.3

重写表达式。

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- 2 M^{2}$ 中减去 $M^{2}$ 。

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

解题步骤 3.5.3

从 $- 3 M^{2} + 3 M c$ 中分解出因数 $3 M$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $- 3 M^{2}$ 中分解出因数 $3 M$ 。

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

解题步骤 3.5.3.2

从 $3 M c$ 中分解出因数 $3 M$ 。

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

解题步骤 3.5.3.3

从 $3 M (- M) + 3 M (c)$ 中分解出因数 $3 M$ 。

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

解题步骤 3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

解题步骤 3.5.4.2

用 $M (- M + c)$ 除以 $1$ 。

$M (- M + c)$

解题步骤 3.5.5

运用分配律。

$M (- M) + M c$

解题步骤 3.5.6

使用乘法的交换性质重写。

$- M \cdot M + M c$

解题步骤 3.5.7

通过指数相加将 $M$ 乘以 $M$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

移动 $M$ 。

$- (M \cdot M) + M c$

解题步骤 3.5.7.2

将 $M$ 乘以 $M$ 。

$- M^{2} + M c$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = - M^{2} + M c$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d M}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$

微积分学 示例

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