微积分学示例

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{x^{6}}{6}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.6

组合 $x^{6}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.2.7.2.5

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{1}{36}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{6}}{36}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

解题步骤 3.3.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

解题步骤 3.3.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

解题步骤 3.3.5

组合 $\frac{- 6}{36}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

解题步骤 3.3.6

约去 $- 6$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

解题步骤 3.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

解题步骤 3.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

解题步骤 3.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

解题步骤 3.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{\ln (x)}{6}$ 。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $\frac{6 \ln (x)}{6}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.4.2

用 $\ln (x) x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.5

要将 $\frac{1}{6} x^{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.6

组合 $\frac{1}{6} x^{5}$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.7

在公分母上合并分子。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.8

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{5}$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.9

组合 $\frac{x^{5}}{6}$ 和 $6$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.10

将 $6$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.11

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.11.1

约去公因数。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.11.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

解题步骤 3.4.2.12

从 $x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

解题步骤 3.4.2.13

约去 $0$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.13.1

从 $0$ 中分解出因数 $6$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

解题步骤 3.4.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.13.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.13.2.2

约去公因数。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.13.2.3

重写表达式。

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

解题步骤 3.4.2.13.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) x^{5} + 0$

解题步骤 3.4.2.14

将 $\ln (x) x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (x) x^{5}$

解题步骤 3.4.3

重新排序 $\ln (x) x^{5}$ 的因式。

$x^{5} \ln (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x^{5} \ln (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$

微积分学 示例

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