微积分学示例

$y = \frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 6 x^{2}$ 且 $g (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [1 - 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1 - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 相加。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 (2 x)) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + 0)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2.13

将 $4 x^{3} - 12 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 12 x^{4} x - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 12 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 12 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 x^{1 + 4} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{2} x + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{1 + 2} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.6

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.7

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.7.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.8.1

运用分配律。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3} - 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.8.2

运用分配律。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.8.3

运用分配律。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.3.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.9.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.9.1.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{3 + 2} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.4.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.5

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{2} x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.9.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.9.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{1 + 2}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.1.8

将 $6$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} - 72 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.9.2

从 $- 4 x^{3}$ 中减去 $72 x^{3}$ 。

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x + 24 x^{5}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 12 x^{5}$ 和 $24 x^{5}$ 相加。

$\frac{12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $72 x^{3}$ 中减去 $76 x^{3}$ 。

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 60 x + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.4

将 $- 60 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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