微积分学示例

$y = \frac{4 x}{1 - \cot (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{1 - \cot (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{1 - \cot (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 - \cot (x)$ 。

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $1 - \cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 - \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 相加。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

乘。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$4 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

组合 $4$ 和 $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ 。

$\frac{4 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4 \cot (x) - 4 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$\frac{- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

从 $- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

从 $- 4 x \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.3

从 $- 4 \cot (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.4

从 $4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.5

从 $4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

从 $- x \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.6

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.7

从 $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.8

从 $- \cot (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.9

从 $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.10

将 $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ 重写为 $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ 。

$\frac{4 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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