微积分学示例

$y = \frac{x^{5}}{x^{3} - 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{3} - 3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{3} - 3$ 。

$\frac{(x^{3} - 3) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(x^{3} - 3) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 移到 $x^{3} - 3$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $x^{3} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{5} x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 (x^{2} x^{5})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{2 + 5}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{(5 x^{3} + 5 \cdot - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{5 x^{3} x^{4} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{5 (x^{4} x^{3}) + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 x^{4 + 3} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.1.1.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5 x^{7} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.1.2

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{5 x^{7} - 15 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

从 $5 x^{7}$ 中减去 $3 x^{7}$ 。

$\frac{2 x^{7} - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

从 $2 x^{7} - 15 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $2 x^{7}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

从 $x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

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