微积分学示例

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2

根据加法法则， $10 x^{5} - 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.5

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.6

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.8

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.10.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.10.2

从 $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.10.2.1

从 $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.10.2.2

从 $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.10.2.3

从 $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 4.3

约去公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

从 $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2

从 $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.5

约去公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

解题步骤 4.6

从 $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $50 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

解题步骤 4.6.2

从 $- 32 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

解题步骤 4.6.3

从 $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

解题步骤 4.6.4

从 $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

解题步骤 4.6.5

从 $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

解题步骤 4.7

约去公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

解题步骤 4.7.2

约去公因数。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

解题步骤 4.7.3

重写表达式。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

解题步骤 4.8

化简。

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解题步骤 4.8.1

运用分配律。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.2

化简分子。

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解题步骤 4.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.2.1.1

将 $10$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.2.2

从 $50 x^{3}$ 中减去 $30 x^{3}$ 。

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.2.3

将 $- 32$ 和 $48$ 相加。

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.3

从 $20 x^{3} + 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.8.3.1

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

解题步骤 4.8.3.3

从 $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

微积分学 示例

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