微积分学示例

$y = \ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

解题步骤 3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 。

$1 \frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

解题步骤 3.4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = 1 + e^{2 x}$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

化简表达式。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3.2

将 $2$ 移到 $(1 + e^{2 x}) e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 \cdot ((1 + e^{2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

根据加法法则， $1 + e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.6.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 相加。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.13

合并分数。

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解题步骤 3.13.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.13.2

将 $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ 乘以 $\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ 。

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3.14

约去公因数。

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解题步骤 3.14.1

从 $e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + e^{2 x}$ 。

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

解题步骤 3.14.2

约去公因数。

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

解题步骤 3.14.3

重写表达式。

$\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

解题步骤 3.15

化简。

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解题步骤 3.15.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

解题步骤 3.15.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

解题步骤 3.15.3

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4

化简分子。

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解题步骤 3.15.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.15.4.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4.1.2

通过指数相加将 $e^{2 x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.15.4.1.2.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x + 2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4.1.2.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4.2

合并 $2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.15.4.2.1

从 $2 e^{4 x}$ 中减去 $2 e^{4 x}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} + 0}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.4.2.2

将 $2 e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.5

合并项。

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解题步骤 3.15.5.1

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x} e^{2 x}}$

解题步骤 3.15.5.2

通过指数相加将 $e^{2 x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.15.5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x + 2 x}}$

解题步骤 3.15.5.2.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

微积分学 示例

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