微积分学示例

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (3 y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{1}{3 y}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

化简项。

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解题步骤 2.3.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{x}{3 y}$ 。

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{x}{y}$ 和 $y'$ 。

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

解题步骤 2.7

将 $\ln (3 y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{3}$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

解题步骤 3.8.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

解题步骤 3.8.3

重新排序项。

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $15 y^{2} x y'$ 。

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 5.3

将 $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

重写表达式。

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

移动 $y$ 。

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.2.2

将 $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ 中的因式重新排序。

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

移动 $y$ 。

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

解题步骤 5.3.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

从等式两边同时减去 $y \ln (3 y)$ 。

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

解题步骤 5.4.2

从 $x y' - 15 y^{3} x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 15 y^{3} x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

解题步骤 5.4.2.3

从 $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

解题步骤 5.4.3

将 $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ 中的每一项除以 $x (1 - 15 y^{3})$ 并化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ 中的每一项都除以 $x (1 - 15 y^{3})$ 。

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 5.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 5.4.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 5.4.3.2.2

约去 $1 - 15 y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 5.4.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 5.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

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