微积分学示例

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \ln (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ 。

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 2.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 2.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

解题步骤 2.3.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{1}{x y}$ 和 $6$ 。

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{6}{x y}$ 。

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2.2

组合 $\frac{x \cdot 6}{x y}$ 和 $y'$ 。

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2.3

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2.4

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.4.1

约去公因数。

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2.4.2

重写表达式。

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

解题步骤 2.4.2.5

组合 $\frac{6}{x y}$ 和 $y$ 。

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

解题步骤 2.4.2.6

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.6.1

约去公因数。

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

解题步骤 2.4.2.6.2

重写表达式。

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

解题步骤 3

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{6}{x}$ 。

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $y$ 。

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

化简 $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.1

运用分配律。

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

组合 $y$ 和 $\frac{6}{x}$ 。

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $6$ 移到 $y$ 的左侧。

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

解题步骤 5.4

将 $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.4

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.4.1

将 $- \frac{6 y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2

从 $- 6 y$ 中分解出因数 $6$ 。

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.4.3

约去公因数。

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 5.4.3.1.4.4

重写表达式。

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.4.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例