微积分学示例

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

解题步骤 2

$y$ 对 $u$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ 对 $u$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ 。

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 等于 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ，其中 $f (u) = u$ 且 $g (u) = 1 - 4 u$ 。

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $1 - 4 u$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 - 4 u$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ 。

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ 相加。

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 4$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- 4 u$ 对 $u$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ 。

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9

化简项。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9.2

将 $- 4 u$ 和 $4 u$ 相加。

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

解题步骤 3.3.9.5

重新排序项。

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d u}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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