微积分学示例

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ 。

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 2 t + 3$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t + 3$ 。

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 t + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $2 t + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.5

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 3.4.8

将 ${(2 t + 3)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

解题步骤 3.5.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

解题步骤 3.5.3

从 $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ 中分解出因数 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 。

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

解题步骤 3.5.3.2

从 $5 {(2 t + 3)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 。

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

解题步骤 3.5.3.3

从 $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ 中分解出因数 $5 {(2 t + 3)}^{2}$ 。

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

解题步骤 3.5.4

将 $6 t$ 和 $2 t$ 相加。

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.5

将 ${(2 t + 3)}^{2}$ 重写为 $(2 t + 3) (2 t + 3)$ 。

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(2 t + 3) (2 t + 3)$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

运用分配律。

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.6.2

运用分配律。

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.6.3

运用分配律。

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.2.1

移动 $t$ 。

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.7.2

将 $6 t$ 和 $6 t$ 相加。

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.8

运用分配律。

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.9

化简。

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解题步骤 3.5.9.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.9.2

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.9.3

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

解题步骤 3.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ 。

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11

化简每一项。

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解题步骤 3.5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.5.11.2.1

移动 $t$ 。

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.11.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.3

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.4

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.6

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.5.11.6.1

移动 $t$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.6.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.7

将 $60$ 乘以 $8$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.8

将 $3$ 乘以 $60$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.9

将 $8$ 乘以 $45$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

解题步骤 3.5.11.10

将 $45$ 乘以 $3$ 。

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

解题步骤 3.5.12

将 $60 t^{2}$ 和 $480 t^{2}$ 相加。

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

解题步骤 3.5.13

将 $180 t$ 和 $360 t$ 相加。

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

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