微积分学示例

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y^{2}$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.5

组合 $y$ 和 $\frac{2}{y^{2}}$ 。

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.6

组合 $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ 和 $y'$ 。

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.8

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y$ 。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.8.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.8.2.2

约去公因数。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.3.8.2.3

重写表达式。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, y, 1, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 5.2

将 $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $12 x^{2} y$ 。

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

解题步骤 5.3.2

从 $2 y' + 2 y' y$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

解题步骤 5.3.2.2

从 $2 y' y$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

解题步骤 5.3.2.3

从 $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

解题步骤 5.3.3

将 $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ 中的每一项除以 $2 (1 + y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ 中的每一项都除以 $2 (1 + y)$ 。

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.2.1

从 $- 12 x^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2.2

从 $y - 6 x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2.2.3

从 $- 6 x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

解题步骤 5.3.3.3.2.2.4

从 $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

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