微积分学示例

$\cot (x y) + x y = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\cot (x y) + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ 中的因式重新排序。

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

解题步骤 5.2

化简 $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ 。

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解题步骤 5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1

移动 $x y'$ 。

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- x y' \csc^{2} (x y)$ 和 $x y'$ 重新排序。

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $x y'$ 中分解出因数 $- x y'$ 。

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- x y' \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $- x y'$ 。

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $- x y'$ 。

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.5

重新整理项。

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.6

使用勾股恒等式。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

解题步骤 5.2.7

将 $- y \csc^{2} (x y)$ 和 $y$ 重新排序。

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

解题步骤 5.2.8

将 $y$ 重写为 $1 y$ 。

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

解题步骤 5.2.9

从 $1 y$ 中分解出因数 $- y$ 。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

解题步骤 5.2.10

从 $- y \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $- y$ 。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

解题步骤 5.2.11

从 $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ 中分解出因数 $- y$ 。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

解题步骤 5.2.12

重新整理项。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.13

使用勾股恒等式。

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $y \cot^{2} (x y)$ 。

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

解题步骤 5.4

将 $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ 中的每一项除以 $- x \cot^{2} (x y)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ 中的每一项都除以 $- x \cot^{2} (x y)$ 。

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $\cot^{2} (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

约去 $\cot^{2} (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{y}{- x}$

解题步骤 5.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

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