微积分学示例

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{y} y'$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y'}{y}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.3

在公分母上合并分子。

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.10

在公分母上合并分子。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.11

化简分子。

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解题步骤 4.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.14

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.15

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.15.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.15.2

在公分母上合并分子。

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.15.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.15.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.16

化简 $x^{0}$ 。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

解题步骤 4.18

将 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.19

化简。

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解题步骤 4.19.1

运用分配律。

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.19.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.19.3

重新排序项。

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 $y$ 。

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2.1.1.2

重写表达式。

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $7$ 。

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $y$ 。

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

将 $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ 中的因式重新排序。

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

微积分学 示例

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