微积分学示例

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用二项式定理。

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.4

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.5

对 $- y^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.9

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.10

对 $- y^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.12

将 ${(y^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

解题步骤 2.2.1.12.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ 。

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.2.3

因为 $x^{6}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{6}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ 相加。

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 3 x^{4}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 3 x^{4} y^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ 。

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{2}$ 且 $g (a) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d a} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.6

因为 $3 x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $3 x^{2} y^{4}$ 对 $a$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{4}$ 且 $g (a) = y$ 。

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解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.7.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.9

将 $\frac{d}{d a} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

解题步骤 2.10

因为 $- 1$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- y^{6}$ 对 $a$ 的导数是 $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

解题步骤 2.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{6}$ 且 $g (a) = y$ 。

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解题步骤 2.11.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $y$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

解题步骤 2.11.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

解题步骤 2.11.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

解题步骤 2.12

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

解题步骤 2.13

将 $\frac{d}{d a} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

解题步骤 2.14

重新排序项。

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3 x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $3 a^{4} x^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ 。

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 x^{2} (4 a^{3})$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{2} a^{3}$

解题步骤 3.3.2

重新排序 $12 x^{2} a^{3}$ 的因式。

$12 a^{3} x^{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d a}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$

微积分学 示例

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