微积分学示例

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4} y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.2.5

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 4.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 4.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 4.3.10

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

解题步骤 4.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.3.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 4.4.4

重新排序项。

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

两边同时乘以 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3.2

重写表达式。

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

化简 $(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

运用分配律。

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.2.2.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.2.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

乘以 $- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{10}{x^{3}}$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3.4

组合 $\frac{- 20}{x^{3}}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.2.1.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.2.1.4

移动 $x^{4}$ 。

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.2

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.3

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

解题步骤 6.3.4

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

解题步骤 6.3.5

从 $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.5.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.5.2

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.5.3

从 $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.5.4

从 $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.6

将 $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ 中的每一项除以 $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.1

将 $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ 中的每一项都除以 $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.6.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.2.1

将 $\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.6.3.2.2

合并。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.3

运用分配律。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.4

约去 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.4.1

将 $- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.4.2

约去公因数。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.4.3

重写表达式。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.5.1

从 $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $4 y^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.5.1.1

将表达式重新排序。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.5.1.1.1

移动括号。

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.1.1.2

将 $x^{3}$ 和 $16$ 重新排序。

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.1.2

从 $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.1.3

从 $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $4 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.1.4

从 $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ 中分解出因数 $4 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.5.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.5.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.5.3.2

化简。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.6

从 $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.6.3.6.1

从 $x^{3} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.6.3.6.2

从 $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

微积分学 示例

微积分学示例