微积分学示例

$x^{3} - y^{3} = 7$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则，

$x^{3} - y^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- y^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = x^{3}$ 且

$g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$y$ 。

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于

$n u^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.3

使用

$y$ 替换所有出现的

$u$ 。

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

将

$\frac{d}{d x} [y]$ 重写为

$y'$ 。

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

解题步骤 2.2.4

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

因为

$7$ 对于

$x$ 是常数，所以

$7$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5

求解

$y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去

$3 x^{2}$ 。

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

将

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项除以

$- 3 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以

$- 3 y^{2}$ 。

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去

$- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去

$y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用

$y'$ 除以

$1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去

$- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 6

使用

$\frac{d y}{d x}$ 替换

$y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

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