微积分学示例

$6 \sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (6 \sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 \sin (x) + \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$6 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 \cos (x) - \sin (y) y'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (y)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ 中的因式重新排序。

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $y' \sin (x) \sin (y)$ 。

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $6 \cos (x)$ 。

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

解题步骤 5.5

从 $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $y' \sin (y)$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $- y' \sin (y)$ 中分解出因数 $y' \sin (y)$ 。

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

解题步骤 5.5.2

从 $y' \sin (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $y' \sin (y)$ 。

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

解题步骤 5.5.3

从 $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ 中分解出因数 $y' \sin (y)$ 。

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

解题步骤 5.6

将 $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ 中的每一项除以 $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ 中的每一项都除以 $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ 。

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $\sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.2.2

约去 $- 1 + \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.3.1.1

分离分数。

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ 重写为乘积形式。

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.3

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.4

化简。

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解题步骤 5.6.3.1.4.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.4.2

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.5

乘以 $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ 。

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解题步骤 5.6.3.1.5.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.5.2

组合 $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ 和 $\csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.1.6

分离分数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

解题步骤 5.6.3.1.7

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ 重写为乘积形式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.6.3.1.8

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.6.3.1.9

化简。

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解题步骤 5.6.3.1.9.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

解题步骤 5.6.3.1.9.2

将 $\frac{1}{\sin (y)}$ 转换成 $\csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

解题步骤 5.6.3.1.10

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

解题步骤 5.6.3.1.11

乘以 $- \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ 。

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解题步骤 5.6.3.1.11.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{6}{- 1 + \sin (x)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

解题步骤 5.6.3.1.11.2

组合 $\csc (y)$ 和 $\frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 6)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.1.12

将 $6$ 移到 $\csc (y) \cos (x)$ 的左侧。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2

化简项。

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解题步骤 5.6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.2

从 $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x) \csc (y)$ 。

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解题步骤 5.6.3.2.2.1

从 $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ 中分解出因数 $\cos (x) \csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.2.2

从 $- 6 \csc (y) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x) \csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.2.3

从 $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)$ 中分解出因数 $\cos (x) \csc (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.4

从 $\sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.2.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

解题步骤 5.6.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

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