微积分学示例

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x + \ln (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 + \frac{1}{y} y'$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $y'$ 。

$3 + \frac{y'}{y}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$\frac{y'}{y} + 3$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{5}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

解题步骤 3.6

重新排序。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 移到 $y^{5}$ 的左侧。

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $5 y^{4} x^{2} y'$ 。

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 5.3

将 $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

重写表达式。

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2.1.2

通过指数相加将 $y^{4}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

移动 $y$ 。

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

通过指数相加将 $y^{5}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

移动 $y$ 。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

解题步骤 5.3.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{5}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

解题步骤 5.4.2

从 $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 5 y^{5} x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

解题步骤 5.4.2.3

从 $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

解题步骤 5.4.3

将 $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ 中的每一项除以 $1 - 5 y^{5} x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ 中的每一项都除以 $1 - 5 y^{5} x^{2}$ 。

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.3.2.1

约去 $1 - 5 y^{5} x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.3.2

从 $2 y^{6} x - 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.2.1

从 $2 y^{6} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.3.2.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 5.4.3.3.2.3

从 $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

微积分学 示例

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