微积分学示例

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

解题步骤 2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.7

从 $0$ 中减去 $y'$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.8

将负号移到分数的前面。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

解题步骤 2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{y'}{y^{2}}$ 。

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 1, y^{2}, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{2}$

解题步骤 5.2

将 $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $y^{2}$ 。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

移动 $y^{2}$ 。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

约去公因数。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

重写表达式。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $0$ 乘以 $y^{2}$ 。

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $4 x y^{3}$ 。

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

解题步骤 5.3.2

从 $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $2 x^{2} y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

解题步骤 5.3.2.3

从 $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

解题步骤 5.3.3

将 $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ 中的每一项除以 $2 x^{2} y^{2} + 3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ 中的每一项都除以 $2 x^{2} y^{2} + 3$ 。

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $2 x^{2} y^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

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