微积分学示例

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

解题步骤 3.4.3

合并项。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3 y^{2} y'$ 。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

在等式两边都加上 $3 y^{2}$ 。

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $6 x y$ 。

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.4

从 $3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $3 x^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.4.2

从 $- 6 x y y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.4.3

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.4.4

从 $3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.4.5

从 $3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.5.1

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

解题步骤 5.5.2

重写多项式。

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.5.3

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = y$ 。

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.6

将 $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ 中的每一项除以 $3 {(x - y)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ 中的每一项都除以 $3 {(x - y)}^{2}$ 。

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2.2

约去 ${(x - y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.3

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.3.1

从 $- 6 x y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.3.1.3.2.1

从 $3 {(x - y)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

解题步骤 5.6.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

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