微积分学示例

$e^{y} = x^{3} \ln (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{y} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.4

重新排序项。

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

解题步骤 5

将 $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ 中的每一项除以 $e^{y}$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ 中的每一项都除以 $e^{y}$ 。

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

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