微积分学示例

e^{y} = x y

$e^{y} = x y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = y

$g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

y

$y$ 。

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

e^{u} \frac{d}{d x} [y]

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用

y

$y$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ 重写为

y'

$y'$ 。

e^{y} y'

$e^{y} y'$

e^{y} y'

$e^{y} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中

f (x) = x

$f (x) = x$ 且

g (x) = y

$g (x) = y$ 。

x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

将

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ 重写为

y'

$y'$ 。

x y' + y \frac{d}{d x} [x]

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

x y' + y \cdot 1

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 3.4

将

y

$y$ 乘以

1

$1$ 。

x y' + y

$x y' + y$

x y' + y

$x y' + y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

e^{y} y' = x y' + y

$e^{y} y' = x y' + y$

解题步骤 5

求解

y'

$y'$ 。

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解题步骤 5.1

将

e^{y} y'

$e^{y} y'$ 中的因式重新排序。

y' e^{y} = x y' + y

$y' e^{y} = x y' + y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去

x y'

$x y'$ 。

y' e^{y} - x y' = y

$y' e^{y} - x y' = y$

解题步骤 5.3

从

y' e^{y} - x y'

$y' e^{y} - x y'$ 中分解出因数

y'

$y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从

y' e^{y}

$y' e^{y}$ 中分解出因数

y'

$y'$ 。

y' (e^{y}) - x y' = y

$y' (e^{y}) - x y' = y$

解题步骤 5.3.2

从

- x y'

$- x y'$ 中分解出因数

y'

$y'$ 。

y' (e^{y}) + y' (- x) = y

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

解题步骤 5.3.3

从

y' (e^{y}) + y' (- x)

$y' (e^{y}) + y' (- x)$ 中分解出因数

y'

$y'$ 。

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

解题步骤 5.4

将

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ 中的每一项除以

e^{y} - x

$e^{y} - x$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ 中的每一项都除以

e^{y} - x

$e^{y} - x$ 。

\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去

e^{y} - x

$e^{y} - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用

$y'$ 除以

$1$ 。

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

解题步骤 6

使用

$\frac{d y}{d x}$ 替换

$y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

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