微积分学示例

$(x - 1) (x - 2) (x - 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$(x - 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(x - 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 2.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) ((x - 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 4.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) (1 + 0))$

解题步骤 4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + (x - 2) \cdot 1)$

解题步骤 4.8.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (x - 1 + x - 2)$

解题步骤 4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 1 - 2)$

解题步骤 4.8.4

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$(x - 1) (x - 2) + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(x - 1) x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + (x - 1) \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 3)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 3$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7

合并项。

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解题步骤 5.7.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 1} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} - 1 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.6

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - x - 2 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.8

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.13

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 3 - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.14

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 \cdot x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 5.7.15

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 6 x - 3 x + 9$

解题步骤 5.7.16

从 $- 6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x^{2} - 9 x + 9$

解题步骤 5.7.17

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 3 x + 2 - 9 x + 9$

解题步骤 5.7.18

从 $- 3 x$ 中减去 $9 x$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 2 + 9$

解题步骤 5.7.19

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$3 x^{2} - 12 x + 11$

微积分学 示例

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