微积分学示例

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + y$ 且 $g (x) = x - 5 y$ 。

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x - 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5 y) (2 + y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.4.1

运用分配律。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.2

运用分配律。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.3

运用分配律。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.5.2

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.5.4

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2

合并 $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ 中相反的项。

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解题步骤 2.8.2.2.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.2

将 $x y' - 10 y - 5 y y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.3

将 $- 5 y y'$ 和 $5 y y'$ 相加。

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.4

将 $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.3

将 $x y'$ 和 $10 x y'$ 相加。

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.4

从 $- 10 y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

从 $11 x y' - 11 y$ 中分解出因数 $11$ 。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $11 x y'$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3.2

从 $- 11 y$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3.3

从 $11 (x y') + 11 (- y)$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$11 (x y' - y) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 5.2.1

将 $11 (x y' - y) = 0$ 中的每一项除以 $11$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $11 (x y' - y) = 0$ 中的每一项都除以 $11$ 。

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

解题步骤 5.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.2.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

用 $x y' - y$ 除以 $1$ 。

$x y' - y = \frac{0}{11}$

解题步骤 5.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $11$ 。

$x y' - y = 0$

解题步骤 5.2.2

在等式两边都加上 $y$ 。

$x y' = y$

解题步骤 5.2.3

将 $x y' = y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $x y' = y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

解题步骤 5.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$

微积分学 示例

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