微积分学示例

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

解题步骤 1

去掉圆括号。

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{25}{4} \cdot (x y^{2}))$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 3.5.2

重新排序 $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 的因式。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{25}{4}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25}{4} \cdot y^{2}]$

解题步骤 4.1.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.1

组合 $\frac{x \cdot 25}{4}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25 y^{2}}{4}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 $25$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [\frac{25 \cdot x y^{2}}{4}]$

解题步骤 4.1.3

因为 $\frac{25}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{25 x y^{2}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$\frac{25}{4} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{25}{4} (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{25}{4} (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{25}{4} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{25}{4} (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 4.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 4.8

化简。

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解题步骤 4.8.1

运用分配律。

$\frac{25}{4} (2 x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2

合并项。

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解题步骤 4.8.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{25}{4}$ 。

$\frac{2 \cdot 25}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$\frac{50}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{50}{4}$ 。

$\frac{x \cdot 50}{4} (y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.4

组合 $y$ 和 $\frac{x \cdot 50}{4}$ 。

$\frac{y (x \cdot 50)}{4} y' + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.5

组合 $\frac{y (x \cdot 50)}{4}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y (x \cdot 50) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.6

将 $50$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{y (50 \cdot x) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.7

将 $50$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{50 \cdot y x y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.8

约去 $50$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.8.1

从 $50 y x y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (25 y x y')}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.8.2.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (25 y x y')}{2 (2)} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (25 y x y')}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 4.8.2.8.2.3

重写表达式。

$\frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ 。

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解题步骤 6.1.1

重写。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

运用分配律。

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.3.2

运用分配律。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.3.3

运用分配律。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4

化简每一项。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.4.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.7.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.1.4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.1.4.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{25}{4}$ 和 $y^{2}$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25 y^{2}}{4}$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $\frac{25 y x y'}{2}$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4}$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $4 x^{3}$ 。

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 6.4.2

从等式两边同时减去 $4 x y^{2}$ 。

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.5

从 $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2}$ 中分解出因数 $y y'$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $4 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (4 x^{2}) + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.5.2

从 $4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.5.3

从 $- \frac{25 y x y'}{2}$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.5.4

从 $y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2})$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.5.5

从 $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2})$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 6.6

将 $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ 中的每一项除以 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ 并化简。

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解题步骤 6.6.1

将 $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ 。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.2

化简左边。

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解题步骤 6.6.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 6.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.2.2

约去 $4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.6.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3

化简右边。

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解题步骤 6.6.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.2

重新排序 $- 4 x y^{2}$ 的因式。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 y^{2} x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.3

从 $\frac{25 y^{2}}{4}$ 中减去 $4 y^{2} x$ 。

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解题步骤 6.6.3.3.1

将 $\frac{25 y^{2}}{4}$ 和 $- 4 x y^{2}$ 重新排序。

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.3.2

要将 $- 4 x y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.3.3

组合 $- 4 x y^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.3.4.1

从 $- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.3.4.1.1

从 $- 4 x y^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.4.1.2

从 $25 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.4.1.3

从 $y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4 + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.4.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.5

要将 $- 4 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.6

化简项。

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解题步骤 6.6.3.6.1

组合 $- 4 x^{3}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.6.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4 + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.7

化简分子。

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解题步骤 6.6.3.7.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.7.2

运用分配律。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.7.4

将 $25$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.6.3.8.1

从 $- 16 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.2

从 $- 16 y^{2} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.3

从 $- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.4

从 $25 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.5

从 $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.3.8.6.1

将 $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ 重写为 $- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ 。

$y' = \frac{\frac{- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.8.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.9

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10

化简分母。

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解题步骤 6.6.3.10.1

要将 $4 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + 4 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.2

组合 $4 x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.3

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.3.10.4.1

从 $4 x^{2} \cdot 2 - 25 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.6.3.10.4.1.1

从 $4 x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) - 25 x}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.4.1.2

从 $- 25 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.4.1.3

从 $x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2 - 25)}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.5

要将 $4 y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.6

组合 $4 y^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (\frac{4 y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

解题步骤 6.6.3.10.7

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{4 y^{2} \cdot 2 + x (8 x - 25)}{2}}$

解题步骤 6.6.3.10.8

化简分子。

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解题步骤 6.6.3.10.8.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x - 25)}{2}}$

解题步骤 6.6.3.10.8.2

运用分配律。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x) + x \cdot - 25}{2}}$

解题步骤 6.6.3.10.8.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x + x \cdot - 25}{2}}$

解题步骤 6.6.3.10.8.4

将 $- 25$ 移到 $x$ 的左侧。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x - 25 \cdot x}{2}}$

解题步骤 6.6.3.10.8.5

化简每一项。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}}$

解题步骤 6.6.3.11

组合 $y$ 和 $\frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}{2}}$

解题步骤 6.6.3.12

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} (1 \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)})$

解题步骤 6.6.3.13

将 $\frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ 乘以 $1$ 。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 6.6.3.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.3.14.1

将 $- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 6.6.3.14.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (2)} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 6.6.3.14.3

约去公因数。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 6.6.3.14.4

重写表达式。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2} \cdot \frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 6.6.3.15

将 $\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ 。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x))}$

解题步骤 6.6.3.16

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

微积分学 示例

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