微积分学示例

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 8}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{r^{2} + 8}$ 重写成 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (y) = \frac{d}{d r} (\frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $r$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 等于 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ，其中 $f (r) = r$ 且 $g (r) = {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{1}}$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.4.2

将 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (r) = r^{2} + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $r^{2} + 8$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.5.3

使用 $r^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.10.4

组合 $\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $r$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8]}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.11

根据加法法则， $r^{2} + 8$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8]$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.13

因为 $8$ 对于 $r$ 是常数，所以 $8$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.14

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.14.1

将 $2 r$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.14.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.14.4

组合 $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $r$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.15

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.16

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.19

从 $- 2 r^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.20

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.20.1

从 $2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.20.2

约去公因数。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.20.3

重写表达式。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.22

要将 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.23

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.24

通过指数相加将 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.24.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.24.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.24.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.24.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.25

化简 ${(r^{2} + 8)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{r^{2} + 8 - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.26

从 $r^{2}$ 中减去 $r^{2}$ 。

$\frac{\frac{0 + 8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.27

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.28

将 $\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$ 重写为乘积形式。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 8}$

解题步骤 4.29

将 $\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{r^{2} + 8}$ 。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 8)}$

解题步骤 4.30

通过指数相加将 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $r^{2} + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.30.1

将 ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $r^{2} + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.30.1.1

对 $r^{2} + 8$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{1}}$

解题步骤 4.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 4.30.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.30.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 4.30.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d r}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d r} = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例