微积分学示例

$y = {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = \frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t^{3} - 4 t$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $t^{3} - 4 t$ 的左侧。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 \cdot (t^{3} - 4 t) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $t^{3} - 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \cdot 1)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

合并分数。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.2

组合 $\frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)) \cdot 3}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

解题步骤 3.3.7.3

将 $3$ 移到 $2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

对 $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{3 ((2 t^{3} + 2 (- 4 t)) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

运用分配律。

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2}) - t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

运用分配律。

$\frac{3 (2 t^{3} t) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

合并项。

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解题步骤 3.4.6.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (2 (t^{1} t^{3})) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (2 t^{1 + 3}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 (2 t^{4}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{4} + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.5

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t \cdot t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.6

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t)) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.7

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t^{1})) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{1 + 1}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{2}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.10

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.11

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2} t^{2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.12

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.12.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 (t^{2} t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2 + 2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.12.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{4}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.13

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.14

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (4 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.15

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.16

从 $6 t^{4}$ 中减去 $9 t^{4}$ 。

$\frac{- 3 t^{4} - 24 t^{2} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.17

将 $- 24 t^{2}$ 和 $12 t^{2}$ 相加。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.18

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.6.18.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{2 \cdot 2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.18.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.19

将 $\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 乘以 $\frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2} {(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.20

通过指数相加将 ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ 乘以 ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.20.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2 + 2}}$

解题步骤 3.4.6.20.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.7

重新排序项。

$\frac{t^{4} (- 3 t^{4} - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8

化简分子。

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解题步骤 3.4.8.1

从 $- 3 t^{4} - 12 t^{2}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.8.1.1

从 $- 3 t^{4}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.1.2

从 $- 12 t^{2}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.1.3

从 $3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4)$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

$\frac{t^{4} \cdot 3 t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.2

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.8.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} t^{4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{2 + 4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.2.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9

化简分母。

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解题步骤 3.4.9.1

从 $t^{3} - 4 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 3.4.9.1.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} - 4 t)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.1.2

从 $- 4 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} + t \cdot - 4)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.1.3

从 $t \cdot t^{2} + t \cdot - 4$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 4))}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2) (t - 2))}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.4

对 $t (t + 2) (t - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2))}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.5

运用分配律。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.6

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.7

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + 2 \cdot t)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.8

使用二项式定理。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9

化简每一项。

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解题步骤 3.4.9.9.1

将 ${(t^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.9.9.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 \cdot 2 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.4

将 ${(t^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.9.9.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{2 \cdot 3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{6} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.5

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.9.9.5.1

移动 $t$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t \cdot t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 3.4.9.9.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t^{1} t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{1 + 6} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.5.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.6

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.9.9.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{2 \cdot 2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.7

对 $2 t$ 运用乘积法则。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} (2^{2} t^{2}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{4} t^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.9

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.9.9.9.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} (t^{2} t^{4}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{2 + 4} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.9.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 4 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.11

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.12

对 $2 t$ 运用乘积法则。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} (2^{3} t^{3}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.13

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{2} t^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.14

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.9.9.14.1

移动 $t^{3}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} (t^{3} t^{2}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{3 + 2} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.14.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.15

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 8 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.16

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.17

对 $2 t$ 运用乘积法则。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 2^{4} t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.9.18

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10

从 $t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.9.10.1

从 $t^{8}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.2

从 $8 t^{7}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.3

从 $24 t^{6}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.4

从 $32 t^{5}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.5

从 $16 t^{4}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.6

从 $t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3})$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.7

从 $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2})$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.8

从 $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t)$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.10.9

从 $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t + 16) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.11

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.9.12

使用二项式定理来对 $t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}$ 进行因式分解。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.10

约去 $t^{6}$ 和 $t^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.10.1

从 $t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.10.2.1

从 $t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

解题步骤 3.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

解题步骤 3.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.11

将 $3$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.12

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.13

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 1 (4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.14

从 $- (t^{2}) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.15

将 $- (t^{2} + 4)$ 重写为 $- 1 (t^{2} + 4)$ 。

$\frac{3 t^{2} (- 1 (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 3.4.17

将 $- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

微积分学 示例

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