微积分学示例

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ 。

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \tan (t)$ 且 $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.3

$\tan (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $5 + 5 \sec (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ 相加。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 \sec (t)$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.5

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.6

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.7

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.10

组合 $7$ 和 $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ 。

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

运用分配律。

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3

化简分子。

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解题步骤 3.11.3.1

从 $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

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解题步骤 3.11.3.1.1

从 $7 (5 \sec^{2} (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.1.2

从 $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.1.3

从 $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.1.4

从 $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.1.5

从 $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $7 \sec (t)$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.2

从 $5 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.3

从 $- 5 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.4

从 $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.5

使用勾股恒等式。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.7

运用分配律。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.8

乘以 $7 \sec (t) (5 \sec (t))$ 。

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解题步骤 3.11.3.8.1

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.8.2

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.8.3

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.9

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.4

从 $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ 中分解出因数 $35 \sec (t)$ 。

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解题步骤 3.11.4.1

从 $35 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $35 \sec (t)$ 。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.4.2

从 $35 \sec (t)$ 中分解出因数 $35 \sec (t)$ 。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.4.3

从 $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ 中分解出因数 $35 \sec (t)$ 。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.5

化简分母。

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解题步骤 3.11.5.1

从 $5 + 5 \sec (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.11.5.1.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.1.2

从 $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.2

对 $5 (1 + \sec (t))$ 运用乘积法则。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.5.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.6

约去 $35$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.6.1

从 $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.6.2.1

从 $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

解题步骤 3.11.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

解题步骤 3.11.6.2.3

重写表达式。

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.7

约去 $\sec (t) + 1$ 和 ${(1 + \sec (t))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.7.1

重新排序项。

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.2

从 $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ 中分解出因数 $1 + \sec (t)$ 。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

解题步骤 3.11.7.3

约去公因数。

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解题步骤 3.11.7.3.1

从 $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \sec (t)$ 。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

解题步骤 3.11.7.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

解题步骤 3.11.7.3.3

重写表达式。

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

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