微积分学示例

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

解题步骤 1

将 ${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

解题步骤 1.2

将 $4$ 移到 $\cos (\frac{t}{7})$ 的左侧。

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

解题步骤 4.1.3

使用 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

解题步骤 4.2

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ 。

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 移到 $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ 的左侧。

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{t}{7}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{t}{7}$ 。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

解题步骤 4.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

解题步骤 4.3.3

使用 $\frac{t}{7}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

解题步骤 4.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

解题步骤 4.4.2

因为 $\frac{1}{7}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{7}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.4.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.3.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.3.2

组合 $\frac{- 4}{7}$ 和 $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ 。

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.3.3

组合 $\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ 和 $\sin (\frac{t}{7})$ 。

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

解题步骤 4.4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

微积分学 示例

微积分学示例